Réponses à une candidature

Partie A : le triangle de Pascal

On donne ci-après les premières lignes de ce que l'on appelle le triangle de Pascal. Il s'agit d'une successions de lignes contenant des nombres entiers positifs. Il est construit de la façon suivante :

• la première ligne est constituée du nombre \(1\) ;
• la deuxième ligne est constituée de deux nombres \(1\) ;
  
• chaque ligne suivante commence et se termine par le nombre \(1\) ;
  
• tous les autres nombres suivants sont obtenus en additionnant les deux nombres situés de part et d'autre sur la ligne du dessus.
  

Voici la représentation du triangle jusqu'à la cinquième ligne.
\(\begin{array}{ccccccc}& & && 1 & & & &\\& && 1 & & 1& & & \\&& 1 & & 2 & & 1 && \\&1 & & 3 & & 3 & & 1& \\1& & 4 & & 6 & & 4 & &1& \\\end{array}\)

Déterminer les deux lignes suivantes.

Partie B : les réponses à une candidature

Hugo cherche du travail et, après avoir mis son CV à jour, il l'a envoyé à de nombreuses entreprises. Il a lu sur plusieurs sites internet dédiés à la recherche d'emploi que seules \(20~\%\) des entreprises prenaient la peine de répondre aux candidatures spontanées, que la réponse soit positive ou non.
Il décide de sélectionner \(4\) d'entre elles au hasard, et d'étudier le nombre de réponses qu'il peut espérer recevoir, que la réponse soit positive ou non. L'arbre de probabilités donné ci-après illustre la situation. On note \(\text{R}\) l'événement « avoir reçu une réponse » et \(\overline{\text{R}}\) l’événement contraire.

1. a. Déterminer le nombre de chemins menant à \(0\) succès, autrement dit à aucune réponse.
    b. Déterminer le nombre de chemins menant à \(1\) unique succès, autrement dit à une unique réponse.
    c. Déterminer le nombre de chemins menant à \(2\) succès, autrement dit à deux réponses.
    d. Déterminer le nombre de chemins menant à \(3\) succès, autrement dit à trois réponses.
    e. Déterminer le nombre de chemins menant à \(4\) succès, autrement dit à quatre réponses.
2. Identifier la ligne du triangle de Pascal qui présente ces mêmes valeurs numériques.
3. Sans dresser d'arbre de probabilités, déterminer le nombre de chemins menant à \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) succès dans le cas où Hugo aurait étudié cinq entreprises au lieu de quatre.

Partie C : coefficients binomiaux

Le nombre de chemins menant à \(2\) succès parmi \(4\) répétitions de la même épreuve de Bernoulli est le coefficient binomial \(\dbinom{4}{2}=6\).
1. En utilisant le triangle de Pascal construit dans la partie A, et éventuellement l'arbre de la partie B, déterminer les nombres suivants :
    a. \(\dbinom{3}{1}=\;...\)
    b. \(\dbinom{3}{2}=\;...\)
    c.  \(\dbinom{4}{2}=\;...\)
    d.  \(\dbinom{5}{2}=\;...\)
    e. \(\dbinom{5}{3}=\;...\)
    f. \(\dbinom{6}{0}=\;...\)
    g. \(\dbinom{6}{6}=\;...\)
2. Expliquer comment trouver ces nombres dans le triangle de Pascal.
3. Vérifier que \(\dbinom{4}{2}=\dbinom{3}{1}+\dbinom{3}{2}\).
4. En s'appuyant sur le triangle de Pascal et sur un arbre de probabilités, justifier les propriétés suivantes.

Propriétés

Pour tout \(n\) entier naturel non nul :

\(\boxed{\dbinom{n}{0}=\dbinom{n}{n}=1}\)

\(\boxed{\dbinom{n}{1}=\dbinom{n}{n-1}=n}\)
Pour tout \(n\) et \(k\) entiers naturels non nuls, tels que \(n>k\) , \(\boxed{\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-1}{k}}\).

Les coefficients binomiaux peuvent être trouvés en utilisant le triangle de Pascal. Lorsqu'il est présenté sous la forme ci-dessus, le coefficient binomial \(\dbinom{n}{k}\) se trouvera sur la ligne \(n+1\) en comptant de haut en bas, et sera le nombre au rang \(k+1\)en comptant de gauche à droite sur la ligne.